수학사 최대의 난제, ‘리만 가설’

 리만 가설은 베른하르트 리만의 논문 ‘주어진 수 이내에 존재하는 소수의 개수에 관한 연구’에서 제기된 문제이다. 이 논문의 목적은 소수의 분포를 수식으로 나타내는 것이었고, 리만 가설은 소수와 매우 밀접하게 관련되어있는 문제이다. 실제로 현재 정수론에서는 ‘리만 가설이 참이라면~’으로 시작하는 정리들이 매우 많은데, 이는 리만 가설의 중요성을 깨닫게 한다.

  불과 반세기 전까지는 리만 가설과 함께 수학사 최대의 난제로 ‘페르마의 마지막 정리’가 군림하여 왔는데, 리만 가설은 페르마의 마지막 정리보다 훨씬 중요한 문제임에도 불구하고 페르마의 마지막 정리만큼 대중에게 알려져 있지 않다. 왜냐하면, 페르마의 마지막 정리는 중등 교육을 받은 사람이라면 누구나 이해할 수 있는 문제이지만, 리만 가설은 이와 관련된 전문 지식을 알고 있지 않다면 문제조차 이해할 수 없기 때문이다.

  그럼 과연 리만 가설은 어떤 문제일까? 리만 가설은 ‘제타 함수의 자명하지 않은 근은 모두 실수부가 1/2이다.’로 표현되는 문제이다. 문제부터 난해해 보이는 리만 가설을 대중들이 이해할 수 있도록 잘 설명한 교양서는 존 더비셔의 ‘리만 가설’이라고 생각한다.

[이미지 촬영=대한민국청소년기자단 4기 정승훈기자]

  리만 가설의 태생은 ‘주어진 수 이내의 소수의 개수’를 밝혀내기 위함이었지만 현재는 정수론에서 다뤄지는 꽤 많은 함수가 리만 가설과 관련되어있다. 따라서 리만 가설이 증명되면 상술했다시피 상당한 수의 정리가 비로소 효력을 얻게 되거나 모두 무용지물이 될 수도 있다. 리만 가설이 참인지 거짓인지 그 참모습은 지금 누구도 알지 못하지만, 많은 수학자들이 리만 가설을 해결하기 위해 노력하고 있는 만큼 언젠가는 증명될 것이다. 페르마의 마지막 정리가 그랬던 것처럼.

[대한민국청소년기자단 IT과학부=4기 정승훈기자]